Bukti :
Misalkan P(n) adalah $1+2+3+4+….+n=\frac{1}{2}n(n+1)$
$P(n)$benar untuk $n=1$ karena $1=\frac{1}{2}(1)(1+1)$
Andaikan $P(n)$ benar, maka tunjukan bahwa $p(n+1)$ juga benar sehingga:
$1+2+3+4+……..n+(n+1)$

$=\frac{1}{2}n(n+1)+(n+1)$

$=(n+1)\left(\frac{1}{2}n+1\right)$

$=(n+1)\times\frac{1}{2}(n+2)$

$=\frac{1}{2}(n+1)[(n+1)+1]$

$=p(n+1)$
Jadi terbukti benar bahwa $P(n+1)$ juga benar
Dengan demikian pernyataan $1+2+3+4+\ldots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$ terbukti benar

Misalkan $P(n)$ adalah $1+3+5+7+9+….+(2n-1)=$ $n^{2}$

$P(n) $benar untuk $n=1$ karena $2(1)-1=$ $1^{2}$

Andaikan $P(n)$ benar, maka kita tunjukan bahwa $P(n+1)$ juga benar

sehingga :

$1+3+5+7+9+\ldots+(2n-1)+[2(n+1)-1]$

$=n^{2}+[2(n+1)-1]$

$=n^{2}+2n+1$

$=(n+1)^{2}$

$=P(n+1)$

Jadi terbukti bahwa $P(n+1)$ juga benar

Dengan demikian pernyataan $1+3+5+7+9+….+(2n-1)=$ $n^{2}$ terbukti benar

Bukti :

Misalkan $P(n)$ adalah $1+2+2^{2}+2^{3}+…$$+2^{n-1}=2^{n}-1$

$P(n)$akan benar untuk $n=1$ karena $2^{1-1}=2^{1}-1$

Andaikan$P(n)$ benar, maka kita harus tunjukan bahwa $P(n+1)$ juga benar, sehingga :

$1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n-1}+2^{(n+1)-1}$

$=2^{n}-1+2^{(n+1)-1}$

$=2^{n}-1+2^{n}$

$=2^{(n+1)}-1$$=P(n+1)$

Dengan demikian pernyataan $1+2+2^{2}+2^{3}+$$\dots$+$2^{n-1}=2^{n}-1$ terbukti benar

Bukti :

Andaikan P(n) adalah $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…….+2^{1-n}=2-2^{1-n}$

$P(n)$ benar untuk $n=1$ karena $2^{1-1}=2-2^{1-1}$

Andaikan $P(n)$ benar, maka kita harus buktikan bahwa $P(n+1)$ juga

benar, sehingga :

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…….+2^{1-n}+2^{1-(n+1)}$

$=2-2^{1-n}+2^{1-(n+1)}$

$=2-2^{1}.2^{-n}+2^{-n}$

$=2-2^{-n}(2-1)$

$=2-2^{-n}$

$=2-2^{1-(n+1)}$

$=P(n+1)$

Jadi $P(n)$ terbukti benar.

Dengan demikian pernyataan $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…….+2^{1-n}=2-2^{1-n}$ terbukti benar

Bukti :
Andaikan P(n) adalah $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…….+2^{1-n}=2-2^{1-n}$

$P(n)$ benar untuk $n=1$ karena $2^{1-1}=2-2^{1-1}$

Andaikan $P(n)$ benar, maka kita harus buktikan bahwa $P(n+1)$ juga benar, sehingga :

$1+3+3^{2}+…….+3^{n-1}+3^{(n+1)-1}$

$=\frac{1}{2}(3^{n}-1)+3^{(n+1)-1}$

$=\frac{1}{2}(3^{n}-1)+3^{n}$

$=\frac{1}{2}.3^{n}-\frac{1}{2}+3^{n}$

$=\frac{3}{2}.3^{n}-\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}\left(3^{(n+1)}-1\right)$

$=P(n+1)$

Jadi $P(n)$ terbukti benar.

Dengan demikian pernyataan $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…….+2^{1-n}=2-2^{1-n}$ terbukti benar

Bukti :

Misalkan P(n) adalah $1 + 2.2 + 3.2^{2}+\ldots+n.2^{n-1}=1+(n-1).2^{n}$

P(n)benar untuk n$=1$ karena $1.2^{1-1}=1+(1-1)2^{1}$

Andaikan P(n) benar, maka kita harus buktikan bahwa P(n+1) harus benar, sehingga :

$1+2.2+3.2^{2}+\ldots+n.2^{n-1}+(n+1).2^{(n+1)-1}$

$=1+(n-1).2^{n}+(n+1).2^{(n+1)-1}$

$=1+(n-1)2^{n}+(n+1).2^{n}$

$=1+\left(n-1+n+1\right)2^{n}=1+(2n)2^{n}$

$=1+n.2^{n+1}$

$=1+[(n+1)-1]2^{n+1}$

$=$P(n+1)

Jadi P(n+1) terbukti benar.

Dengan demikian pernyataan $1+2.2+3.2^{2}+\ldots+n.2^{n-1}=1+(n-1).2^{n}$ terbukti benar.

Bukti :
Misalnya P(n) adalah $1^{2}+2^{2}+3^{2}+…….+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

P(n) benar untuk n$=1$ karena $1^{2}=\frac{1}{6}.1.(1+1)(2.1+1)$

Andaikan P(n) benar , maka harus dibuktikan bahwa P(n+1) harus benar juga, sehingga :

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+…….+n^{2}+(n+1)^{2}$

$=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^{2}$

$= \frac{(n+1)}{6}\left\{ n(2n+1)+6(n+1)\right\} $

$=\frac{n+1}{6}(2n^{2}+n+6n+6)$

$=\frac{(n+1)}{6}(2n^{2}+7n+6)$

$=\frac{(n+1)}{6}(n+2)(2n+3)$

$=\frac{1}{6}(n+1)\left\{ (n+1)+1\right\} \{2(n+1)+1\}$

$=$P(n+1)

Jadi P(n+1) terbukti benar

Dengan demikian pernyataan $1^{2}+2^{2}+3^{2}+…….+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ terbukti benar

Bukti:
Misalkan P(n) adalah $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+…….\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$

P(n) benar untuk n=1 karena $\frac{1}{2^{1}}=2-\frac{1+2}{2^{1}}$

Andaikan P(n) benar, maka buktikan bahwa P(n+1) juga benar, sehingga :

$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+…….\frac{n}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}$

$=2+\frac{-2n-4+n+1}{2^{n+1}}$

$=2+\frac{-n-3}{2^{n+1}}$

$=2-\frac{n+3}{2^{n+1}}$

$=2-\frac{(n+1)+2}{2^{n+1}}$

$=P(n+1)$

Jadi terbukti P(n+1) benar

Dengan demikian pernyataan $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\ldots\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{n+2}{2^{n}}$ terbukti benar

Bukti :
Misalkan P(n) adalah $\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx$

P(n) benar untuk n=1 karena $\left(1+x\right)^{1}\geq1+1.x$

Andaikan P(n) benar, maka kita harus buktikan bahwa P(n+1) benar, sehingga :

$\left(1+x\right)^{n+1}\geq(1+xn)(1+x)$

$\left(1+x\right)^{n+1}\geq1+(n+1)x+nx^{2}$, sehingga

$\left(1+x\right)^{n+1}\geq1+(n+1)x=P(n+1)$

Jadi terbukti bahwa P(n+1) benar

Dengan demikian, pernyataan $\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx$ terbukti benar

Bukti :
Misalkan P(n) adalah $a^{2n-1}+b^{2n-1}$

P(n) benar untuk n=1 karena $a^{2.1-1}+b^{2.1-1}=a+b$ habis dibagi oleh a+b

Andaikan P(n) benar, maka harus dibuktikan bahwan P(n+1) juga benar, sehingga :

$a^{2(n+1)-1}+b^{2(n+1)-1}$

$=a^{2n+1}+b^{2n+1}$

$=a^{2}.a^{2n-1}+b^{2}.b^{2n-1}$

$=a^{2}.a^{2n-1}+b^{2}.b^{2n-1}-b^{2}.a^{2n-1}+b^{2}.a^{2n-1}$

$=\left(a^{2}-b^{2}\right)a^{2n-1}+b^{2}(a^{2n-1}+b^{2n-1})$

$=\left(a+b\right)(a-b)a^{2n-1}+b^{2}(a^{2n-1}+b^{2n-1})$

$=$ P(n+1)

Ruas kanan dari identitas diatas habis dibagi oleh a + b sehingga ruas kirinya juga habis dibagi oleh a + b

Jadi terbukti bahwa P(n + 1) benar.

Dengan semikian pernyataan bahwa $a^{2n-1}+b^{2n-1}$ habis dibagi oleh a + b untuk semua bilangan asli n terbukti.

Bukti :
Misalkan P(n)$=n^{3}-n$

P(n) benar untuk n=3 karena $3^{3}-3=24$ habis dibagi $24$

Andaikan P(n) benar, maka kita tunjukan bahwa P(n+2) juga benar,

sehingga untuk bilangan berikutnya (n+2),

$\left(n+2\right)^{3}-(n+2)$

$=n^{3}+6n^{2}+12n+8-n-2$

$=n^{3}-n+6n^{2}+12n+6$

$=(n^{3}-n)+6(n+1)^{2}$

Bentuk $\left(n+1\right)^{2}$ menjadi kuadrat bilangan genap berarti habis dibagi oleh $24$, sehingga kedua ruas itu habis dibagi $24$

Jadi terbukti bahwa P(n+2) juga benar.

Misalkan $P(n)$ adalah $3^{2n}+2^{2n+2}$

$P(n)$ benar untuk $n=1$ karena $3^{2.1}+2^{2.1+2}=25$ habis dibagi $5$

Andaikan $P(n)$ benar, kita harus buktikan bahwa $P(n+1)$ juga benar, sehingga :

$3^{2(n+1)}+2^{2(n+1)+2}$

$=3^{2}.3^{2n}+2^{2}.2^{2n+2}$

$=\left(10.3^{2n}+5.2^{2n+2}\right)-\left(3^{2n}+2^{2n+2}\right)$

$=5\left(2.3^{2n}+2^{2n+2}\right)-\left(3^{2n}+2^{2n+2}\right)$

Karena $\left(3^{2n}+2^{2n+2}\right)$ adalah kelipatan 5 (hipotesa Induksi) dan $5\left(2.3^{2n+2}+2^{2n+2}\right)$ adalah juga merupakan kelipatan 5, maka $5\left(2.3^{2n}+2^{2n+2}\right)-\left(3^{2n}+2^{2n+2}\right)$ adalah kelipatan 5, sehingga $5\left(2.3^{2n}+2^{2n+2}\right)-\left(3^{2n}+2^{2n+2}\right)$ juga habis dibagi 5.

Jadi $P(n+1)$ terbukti benar

Dengan demikian pernyataan untuk setiap bilangan bulat positif $n$, $3^{2n}+2^{2n+2}$ habis dibagi $5$ terbukti benar.

Bukti :
Misalkan P(n) adalah $n(n^{2}+2)$

P(n) benar untuk $n=1$ karena $1(1^{2}+2)=3$ habis dibagi $3$

Andaikan P(n) benar, kita harus membuktikan bahwa P(n+1) juga benar, sehingga :

$(n+1)[(n+1)^{2}+2]$

$=(n+1)(n^{2}+2n+1+2)$

$=(n+1)(n^{2}+2n+3)$

$=n^{3}+3n^{2}+5n+3$

$=n(n^{2}+2)+3(n^{2}+n+3)$

karena ruas kanan habis dibagi $3$, maka ruas kiri juga habis dibagi $3$

Jadi P(n + 1) terbukti benar

Dengan demikian $n(n^{2}+2)$ habis dibagi oleh $3$ terbukti benar

Bukti :
Misalkan P(n) adalah $7^{2n+1}+1$

P(n) benar untuk n=1 karena $7^{2.1+1}+1=344$ habis dibagi $8$

Andaikan P(n) benar , maka kita harus buktikan bahwa P(n+1) benar, sehingga :

$7^{2(n+1)+1}+1$

$=7^{2}.7^{2n+1}+1$

$=7^{2}.7^{2n+1}+1-7^{2n+1}+7^{2n+1}$

$=\left(7^{2}-1\right).7^{2n+1}+7^{2n+1}+1$

$=48.7^{2n+1}+7^{2n+1}+1$

Karena ruas kanan dapat dibagi dengan $8$ maka ruas kiri juga dapat dibagi kiri.

Jadi P(n+1) terbukti benar.

Dengan demikian pernyataan $7^{2n+1}+1$ habis dibagi oleh $8$ terbukti benar

Bukti :
Andaikan P(n) adalah $2^{4n+3}+3^{3n+1}$

P(n) benar untuk n=1 karena $2^{4.1+3}+3^{3.1+1}=209$ habis dibagi $11$

Andaikan P(n) benar, maka kita harus buktikan bahwa P(n+1) juga benar, sehingga :

$2^{4(n+1)+3}+3^{3(n+1)+1}=2^{4}.2^{4n+3}+3^{3}.3^{3n+1}$

$=2^{4}.2^{4n+3}+3^{3}.3^{3n+1}-2^{4}.3^{3n+1}+2^{4}.3^{3n+1}$

$=\left(3^{3}-2^{4}\right).3^{3n+1}+2^{4}(2^{4n+3}+3^{3n+1})$

$=11.3^{3n+1}+2^{4}(2^{4n+3}+3^{3n+1})$

Karena ruas kanan dapat dibagi dengan $11$, maka ruas kiri dapat dibagi dengan$11$

Jadi P(n+1) terbukti benar

Dengan demikian pernyataan $2^{4n+3}+3^{3n+1}$ habis dibagi oleh $11$ terbukti benar