Kalau kebetulan kamu ingin belajar lebih tentang jumlah dan hasil kali akar suku banyak, simak video pembahasannya yang ada di sini. Setelahnya, kamu bisa mengerjakan kuis berupa latihan soal untuk mengasah kemampuan belajarmu.
Di sini, kamu akan belajar tentang Jumlah & Hasil Kali Akar Suku Banyak melalui video yang dibawakan oleh Bapak Anton Wardaya. Kamu akan diajak untuk memahami materi hingga metode menyelesaikan soal.
Kamu juga akan memperoleh latihan soal interaktif dalam 3 tingkat kesulitan (mudah, sedang, sukar). Dengan begitu, kamu bisa langsung mempraktikkan materi yang telah dijelaskan.
Sekarang, kamu bisa mulai belajar dengan 2 video dan 3 set latihan soal yang ada di halaman ini. Apabila materi ini berguna, bagikan ke teman atau rekan kamu supaya mereka juga mendapatkan manfaatnya.
Kamu dapat download modul & contoh soal serta kumpulan latihan soal lengkap dalam bentuk pdf pada list dibawah ini:
Rumus Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Suku Banyak
Contoh Soal Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar Suku Banyak
Latihan Soal Jumlah & Hasil Kali Akar Suku Banyak (Mudah)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Diketahui persamaan kuadrat $x^{2}+3x-2=0$. Jumlah akar-akarnya adalah…
Betul$x^{2}+3x-2=0$
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
Salah$x^{2}+3x-2=0$
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Nilai m jika diketahui $x^{3}-6x^{2}+11x+m=0$ dan $x_{1}=2x_{2}$ adalah…
Betul$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
Karena $x_{1}=2x_{2}$, maka :
$2x_{2}+x_{2}+x_{3}=-\frac{(-6)}{1}$
$3x_{2}+x_{3}=6\Rightarrow x_{3}=6-3x_{2}$…..(1)
Ingat bahwa $x_{1}.x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}$
$2x_{2}.x_{2}+2x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{11}{1}=11$
$2x_{2}^{2}+3x_{2}x_{3}=11$….(2)
Substitusikan pers (1) ke pers (2) :
$2x_{2}^{2}+3x_{2}\left(6-3x_{2}\right)=11$
$2x_{2}^{2}+18x_{2}-9x_{2}^{2}=11$
$7x_{2}^{2}-18x_{2}+11=0$
$\left(7x_{2}-11\right)(x_{2}-1)=0$
$x_{2}=\frac{11}{7}$ atau $x_{2}=1$
Ambil $x{}_{2}=1$
Substitusikan nilai x = 1 ke fungsi awal agar diperoleh nilai m :
$(1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)+m=0$
$1-6+11+m=0$
$m=-6$
Salah$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
Karena $x_{1}=2x_{2}$, maka :
$2x_{2}+x_{2}+x_{3}=-\frac{(-6)}{1}$
$3x_{2}+x_{3}=6\Rightarrow x_{3}=6-3x_{2}$…..(1)
Ingat bahwa $x_{1}.x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}$
$2x_{2}.x_{2}+2x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{11}{1}=11$
$2x_{2}^{2}+3x_{2}x_{3}=11$….(2)
Substitusikan pers (1) ke pers (2) :
$2x_{2}^{2}+3x_{2}\left(6-3x_{2}\right)=11$
$2x_{2}^{2}+18x_{2}-9x_{2}^{2}=11$
$7x_{2}^{2}-18x_{2}+11=0$
$\left(7x_{2}-11\right)(x_{2}-1)=0$
$x_{2}=\frac{11}{7}$ atau $x_{2}=1$
Ambil $x{}_{2}=1$
Substitusikan nilai x = 1 ke fungsi awal agar diperoleh nilai m :
$(1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)+m=0$
$1-6+11+m=0$
$m=-6$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Persamaan $12x^{3}-kx^{2}+7x-12=0$ memiliki dua akar yang saling berkebalikan, nilai k adalah…
BetulFungsi $12x^{3}-kx^{2}+7x-12=0$, misalkan memiliki akar $x_{1},x_{2},$ dan $x_{3}$, dimana $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$
$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=\frac{-(-12)}{12}=1\Rightarrow x_{3}=1$
Berarti salah satu akarnya adalah $x=1$
Substitusikan nilai $x=1$ ke fungsi agar diperoleh nilai k :
$12(1)^{3}-k(1)^{2}+7(1)-12=0$
$12-k+7-12=0\Rightarrow k=7$
SalahFungsi $12x^{3}-kx^{2}+7x-12=0$, misalkan memiliki akar $x_{1},x_{2},$ dan $x_{3}$, dimana $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$
$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=\frac{-(-12)}{12}=1\Rightarrow x_{3}=1$
Berarti salah satu akarnya adalah $x=1$
Substitusikan nilai $x=1$ ke fungsi agar diperoleh nilai k :
$12(1)^{3}-k(1)^{2}+7(1)-12=0$
$12-k+7-12=0\Rightarrow k=7$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika $\alpha,\beta,$dan $\gamma$ adalah akar-akar persamaan $x^{3}+4x^{2}-4x+k=0$ dan $\alpha=\beta+\gamma$ , nilai dari $\sqrt{\left(-k\right)^{-1}}$ adalah…
Betul$x^{3}+4x^{2}-4x+k=0$
$\alpha+\beta+\gamma=-4$
Karena $\alpha=\beta+\gamma$, maka :
$\alpha+\alpha=-4$
$2\alpha=-4\Rightarrow\alpha=-2$
Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan diatas, maka bisa kita substitusikan langsung :
$(-2)^{3}+4(-2)^{2}-4(-2)+k=0$
$-8+16+8+k=0\Rightarrow k=-16$
Jadi nilai $\sqrt{\left(-k\right)^{-1}}=\sqrt{[-(-16)]^{-1}}=\sqrt{16^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$
Salah$x^{3}+4x^{2}-4x+k=0$
$\alpha+\beta+\gamma=-4$
Karena $\alpha=\beta+\gamma$, maka :
$\alpha+\alpha=-4$
$2\alpha=-4\Rightarrow\alpha=-2$
Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan diatas, maka bisa kita substitusikan langsung :
$(-2)^{3}+4(-2)^{2}-4(-2)+k=0$
$-8+16+8+k=0\Rightarrow k=-16$
Jadi nilai $\sqrt{\left(-k\right)^{-1}}=\sqrt{[-(-16)]^{-1}}=\sqrt{16^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Jika $4$ adalah salah satu akar persamaan $x^{3}-5x^{2}+2x+a=0$, dan $x_{1},x_{2},$dan $x_{3}$merupakan akar-akar dari persamaan tersebut, maka nilai dari $x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=$…
BetulMisalkan $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+a$
$4$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka $f(x)$ akan sama dengan $0$ jika disubstitusikan dengan $x=4$
$f(4)=(4)^{3}-5(4)^{2}+2(4)+a=0$
$64-80+8+a=0\Rightarrow a=8$
Jadi $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8.$
Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ memiliki hasil kali $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
Jadi hasil kali akar-akar dari $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8$ adalah $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{1}=-8$
SalahMisalkan $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+a$
$4$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka $f(x)$ akan sama dengan $0$ jika disubstitusikan dengan $x=4$
$f(4)=(4)^{3}-5(4)^{2}+2(4)+a=0$
$64-80+8+a=0\Rightarrow a=8$
Jadi $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8.$
Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ memiliki hasil kali $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
Jadi hasil kali akar-akar dari $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8$ adalah $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{1}=-8$
Latihan Soal Jumlah & Hasil Kali Akar Suku Banyak (Sedang)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Jika persamaan $2x^{3}+px^{2}-18x+8=0$ memiliki dua akar yang saling berkebalikan, maka nilai $p$ adalah…
BetulMisalkan akar-akrnya adalah $x_{1},x_{2},$dan $x_{3}$
Misal akar yang berkebalikan adalah $x_{1}$dan $x_{2}$, maka berlaku $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$
Ingat bentuk perkalian akar-akar yang berpangkat tiga adalah :
$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{2}=-4$
$x_{3}=-4$
Karena $x_{3}$merupakan akar dari fungsi tersebut, maka bisa disubstitusikan langsung yang akan menghasilkan $0$
$2(-4)^{3}+p(-4)^{2}-18(-2)+8=0$
$-128+16p+72+8=0$
$16p=48$
$p=3$
SalahMisalkan akar-akrnya adalah $x_{1},x_{2},$dan $x_{3}$
Misal akar yang berkebalikan adalah $x_{1}$dan $x_{2}$, maka berlaku $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$
Ingat bentuk perkalian akar-akar yang berpangkat tiga adalah :
$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$
$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{2}=-4$
$x_{3}=-4$
Karena $x_{3}$merupakan akar dari fungsi tersebut, maka bisa disubstitusikan langsung yang akan menghasilkan $0$
$2(-4)^{3}+p(-4)^{2}-18(-2)+8=0$
$-128+16p+72+8=0$
$16p=48$
$p=3$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Diketahui $f(x)=x^{3}-x^{2}-2x-3$ bila dibagi $x+a$ akan bersisa sama dengan $f(x)$ jika dibagi $(x-2a)$, $a\neq0,$ Bila semua nilai $a$ yang mungkin dijumlahkan, maka akan bernilai…
Betul$f(x)$ dibagi dengan $x+a$ , maka :
$\begin{aligned} f(-a) &=(-a)^{3}-(-a)^{2}-2(-a)-3\\
&=-a^{3}-a^{2}+2a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(1)}\\
\end{aligned}$$f(x)$ dibagi dengan $x-2a$, maka :
$\begin{aligned} f(2a)& =(2a)^{3}-(2a)^{2}-2(2a)-3\\
&=8a^{3}-4a^{2}+4a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(2)}\\
\end{aligned}$Karena memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan $(x+a)$ maupun $(x-2a)$, maka dari pers (1) dan (2) :
$-a^{3}-a^{2}+2a-3=8a^{3}-4a^{2}+4a-3$
$9a^{3}-3a^{2}+2a=0$
Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ memiliki jumlah akar sebagai berikut :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
Jadi jumlah akar yang mungkin dari pers $9a^{3}-3a^{2}+2a=0$ adalah:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}=-\frac{(-3)}{9}=\frac{1}{3}$
Salah$f(x)$ dibagi dengan $x+a$ , maka :
$\begin{aligned} f(-a) &=(-a)^{3}-(-a)^{2}-2(-a)-3\\
&=-a^{3}-a^{2}+2a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(1)}\\
\end{aligned}$$f(x)$ dibagi dengan $x-2a$, maka :
$\begin{aligned} f(2a)& =(2a)^{3}-(2a)^{2}-2(2a)-3\\
&=8a^{3}-4a^{2}+4a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(2)}\\
\end{aligned}$Karena memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan $(x+a)$ maupun $(x-2a)$, maka dari pers (1) dan (2) :
$-a^{3}-a^{2}+2a-3=8a^{3}-4a^{2}+4a-3$
$9a^{3}-3a^{2}+2a=0$
Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ memiliki jumlah akar sebagai berikut :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$
Jadi jumlah akar yang mungkin dari pers $9a^{3}-3a^{2}+2a=0$ adalah:
$a_{1}+a_{2}+a_{3}=-\frac{(-3)}{9}=\frac{1}{3}$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Diketahui pers $x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$ dengan akar-akarnya adalah $u$,$v$, dan $w$, Jika $2u=-v-w$, hasil kali akar-akarnya adalah…
Betul$v+w=-2u$
Ingat jumlah akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-b}{a}$
$u+v+w=-\frac{b}{a}$
$u-2u=\frac{-(-3)}{1}=3$
$-u=3\Rightarrow u=-3$
Substitsuikan $u=-3$ ke fungsi pers :
$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$
$-27-27+30+p=0$
$p=24$
Dengan demikian persaamaan diatas menjadi $x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$
Ingat hasil kali akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-d}{a}$
Jadi hasil kali akar-akarnya adalah $\frac{-24}{1}=-24$
Salah$v+w=-2u$
Ingat jumlah akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-b}{a}$
$u+v+w=-\frac{b}{a}$
$u-2u=\frac{-(-3)}{1}=3$
$-u=3\Rightarrow u=-3$
Substitsuikan $u=-3$ ke fungsi pers :
$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$
$-27-27+30+p=0$
$p=24$
Dengan demikian persaamaan diatas menjadi $x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$
Ingat hasil kali akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-d}{a}$
Jadi hasil kali akar-akarnya adalah $\frac{-24}{1}=-24$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Jika akar-akar persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$ membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka $p+q+r$ adalah…
BetulMisalkan akar-akar persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$ adalah $x_{1},x_{2},x_{3}$ , dan $x_{4}$
Membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka :
$x_{1,}x_{1}+2,x_{1}+4,x_{1}+6$ adalah deret aritmatika .
Ingat bentuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ memiliki :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{b}{a}$ dan $x_{1}.x_{2}.x_{3}.x_{4}=\frac{e}{a}$
Dari persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{(-8)}{1}=8$
$x_{1}+(x_{1}+2)+(x_{1}+4)+(x_{1}+6)=8$
$4x_{1}+12=8$
$x_{1}=-1$
$x_{2}=x_{1}+2=-1+2=1$
$x_{3}=x_{1}+4=-1+4=3$
$x_{4}=x_{1}+6=-1+6=5$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=\left(x+1\right)(x-1)(x-3)(x-5)$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=(x^{2}-1)(x^{2}-8x+15)$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=x^{4}-8x^{3}+14x^{2}+8x-15$
Sari pers diatas dapat diperoleh :
$p=14$
$q=-8$
$r=-15$
Jadi nilai $p+q+r=14-8-15=-9$
SalahMisalkan akar-akar persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$ adalah $x_{1},x_{2},x_{3}$ , dan $x_{4}$
Membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka :
$x_{1,}x_{1}+2,x_{1}+4,x_{1}+6$ adalah deret aritmatika .
Ingat bentuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ memiliki :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{b}{a}$ dan $x_{1}.x_{2}.x_{3}.x_{4}=\frac{e}{a}$
Dari persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{(-8)}{1}=8$
$x_{1}+(x_{1}+2)+(x_{1}+4)+(x_{1}+6)=8$
$4x_{1}+12=8$
$x_{1}=-1$
$x_{2}=x_{1}+2=-1+2=1$
$x_{3}=x_{1}+4=-1+4=3$
$x_{4}=x_{1}+6=-1+6=5$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=\left(x+1\right)(x-1)(x-3)(x-5)$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=(x^{2}-1)(x^{2}-8x+15)$
$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$
$=x^{4}-8x^{3}+14x^{2}+8x-15$
Sari pers diatas dapat diperoleh :
$p=14$
$q=-8$
$r=-15$
Jadi nilai $p+q+r=14-8-15=-9$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Jika $\alpha,\beta,$dan $\gamma$ adalah akar-akar dari pesamaan $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$, tentukanlah nilai dari $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$=…
Betul$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$
$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^{2}-2\left(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma\right)$
$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(-2\right)^{2}-2\left(3\right)=4-6=-2$
Salah$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$
$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^{2}-2\left(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma\right)$
$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(-2\right)^{2}-2\left(3\right)=4-6=-2$
Latihan Soal Jumlah & Hasil Kali Akar Suku Banyak (Sukar)
Ringkasan kuis
0 dari 5 pertanyaan telah diselesaikan
Pertanyaan:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Informasi
You have already completed the quiz before. Hence you can not start it again.
Quiz is loading...
Anda harus masuk atau mendaftar untuk memulai kuis.
Anda harus menyelesaikan kuis dibawah ini, untuk memulai kuis ini:
Hasil
Hasil
0 dari 5 pertanyaan terjawab dengan benar
Waktu yang telah berlalu
Kategori
- Tidak Berkategori 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- Terjawab
- Tinjau
-
Pertanyaan ke 1 dari 5
1. Pertanyaan
Jika $\alpha,\beta,$dan $\gamma$ adalah akar-akar dari pesamaan $x^{3}+2x^{2}+3x+4=0$, nilai dari $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$= …
Betul$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$
$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-4}{1}=-4$
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$
Salah$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$
$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-4}{1}=-4$
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$
-
Pertanyaan ke 2 dari 5
2. Pertanyaan
Jika persamaan $x^{3}-6x^{2}+ax+10=0$ memiliki akar yang membentuk deret aritmatika, maka nilai $a$ adalah…
BetulMisalkan akar-akar dari $x^{3}-6x^{2}+ax+10=0$ adalah $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$.
Karena membentuk deret aritmatika maka
$x_{1},$ $x_{1}+b,x_{1}+2b$ merupakan deret aritmatika dengan beda b.
(i)$x_{1}+x_{2}$+$x_{3}$= $\frac{-(-6)}{1}=6$
$x_{1}+$ $x_{1}+b+x_{1}+2b=6$
$3x_{1}+3b=6\Rightarrow x_{1}+b=2\Longleftrightarrow x_{1}=2-b$…..(1)
(ii) $x_{1}.x_{2}$.$x_{3}$= $\frac{-(10)}{1}=-10$
$x_{1}$ ($x_{1}+b)(x_{1}+2b)=6$
$\left(2-b)(2-b+b\right)(2-b+2b)=6$
$\left(2-b\right)(2)(2+b)=6$
$4-b^{2}=3$
$b^{2}-1=0$
$b=\pm1,$
Kita ambil $b=1$
Substitusikan pers (2) ke pers (1) sehingga diperoleh :
$x_{1}=2-1=1$
$x_{2}=1+1==2$
$x_{3}=1+2=3$
$x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{3}=\frac{-a}{1}=-a$
$1\cdot2+2\cdot3+1\cdot3=-a$
$2+6+3=-a$
$a=-11$
SalahMisalkan akar-akar dari $x^{3}-6x^{2}+ax+10=0$ adalah $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$.
Karena membentuk deret aritmatika maka
$x_{1},$ $x_{1}+b,x_{1}+2b$ merupakan deret aritmatika dengan beda b.
(i)$x_{1}+x_{2}$+$x_{3}$= $\frac{-(-6)}{1}=6$
$x_{1}+$ $x_{1}+b+x_{1}+2b=6$
$3x_{1}+3b=6\Rightarrow x_{1}+b=2\Longleftrightarrow x_{1}=2-b$…..(1)
(ii) $x_{1}.x_{2}$.$x_{3}$= $\frac{-(10)}{1}=-10$
$x_{1}$ ($x_{1}+b)(x_{1}+2b)=6$
$\left(2-b)(2-b+b\right)(2-b+2b)=6$
$\left(2-b\right)(2)(2+b)=6$
$4-b^{2}=3$
$b^{2}-1=0$
$b=\pm1,$
Kita ambil $b=1$
Substitusikan pers (2) ke pers (1) sehingga diperoleh :
$x_{1}=2-1=1$
$x_{2}=1+1==2$
$x_{3}=1+2=3$
$x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{3}=\frac{-a}{1}=-a$
$1\cdot2+2\cdot3+1\cdot3=-a$
$2+6+3=-a$
$a=-11$
-
Pertanyaan ke 3 dari 5
3. Pertanyaan
Diketahui persamaan $2x^{3}-5x^{2}+4x+6=0$ mempunyai akar-akar $\alpha,\beta,$ dan $\gamma$, persamaan yang memiliki akar-akar$2\alpha,2\beta,$ dan $2\gamma$ adalah…
Betul$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-5)}{2}=\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{4}{2}=2$
$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-6}{2}=-3$
Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$
Persamaan yang memiliki akar-akar $2\alpha,2\beta,$dan $2\gamma$ :
$2\alpha+2\beta+2\gamma=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$
$=2\cdot\frac{5}{2}=5$
$2\alpha\cdot2\beta+2\alpha\cdot2\gamma+2\beta\cdot2\gamma=4(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$
$=4(2)=8$
$2\alpha\cdot2\beta\cdot2\gamma=8(-3)=-24$
Jika nilai a = 1, maka persamaannya adalah :
$x^{3}-5x^{2}+8x+24=0$
Salah$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-5)}{2}=\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{4}{2}=2$
$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-6}{2}=-3$
Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$
Persamaan yang memiliki akar-akar $2\alpha,2\beta,$dan $2\gamma$ :
$2\alpha+2\beta+2\gamma=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$
$=2\cdot\frac{5}{2}=5$
$2\alpha\cdot2\beta+2\alpha\cdot2\gamma+2\beta\cdot2\gamma=4(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$
$=4(2)=8$
$2\alpha\cdot2\beta\cdot2\gamma=8(-3)=-24$
Jika nilai a = 1, maka persamaannya adalah :
$x^{3}-5x^{2}+8x+24=0$
-
Pertanyaan ke 4 dari 5
4. Pertanyaan
Diketahui persamaan $x^{3}+x^{2}+\frac{1}{2}x+2=0$ mempunyai akar $x_{1},x_{2}$dan $x_{3}$, nilai dari $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ = …
BetulDiketahui $x^{3}+x^{2}-\frac{1}{2}x+2=0$ mempunyai akar $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$, maka :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1$
$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=\frac{1}{2}$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$
$=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\right)$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\left(-1\right)^{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)=1+1=2$
SalahDiketahui $x^{3}+x^{2}-\frac{1}{2}x+2=0$ mempunyai akar $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$, maka :
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1$
$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=\frac{1}{2}$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$
$=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\right)$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\left(-1\right)^{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)=1+1=2$
-
Pertanyaan ke 5 dari 5
5. Pertanyaan
Jika $\alpha,\beta,\gamma$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$, nilai dari $\left(\alpha+1\right)^{2}\left(\beta+1\right)^{2}\left(\gamma+1\right)^{2}=$…
BetulDari pers $x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$ dapat diperoleh bahwa :
$\alpha+\beta+\gamma=3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=2$
$\alpha\beta\gamma=1$
$\left(\alpha+1\right)^{2}\left(\beta+1\right)^{2}\left(\gamma+1\right)^{2}=$$\left\{ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\right\} ^{2}$
$=\left\{ \left(\alpha\beta\gamma\right)+\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\right)+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)+1\right\} ^{2}$
$=\left\{ 1+2+3+1\right\} ^{2}$
$=49$
SalahDari pers $x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$ dapat diperoleh bahwa :
$\alpha+\beta+\gamma=3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=2$
$\alpha\beta\gamma=1$
$\left(\alpha+1\right)^{2}\left(\beta+1\right)^{2}\left(\gamma+1\right)^{2}=$$\left\{ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\right\} ^{2}$
$=\left\{ \left(\alpha\beta\gamma\right)+\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\right)+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)+1\right\} ^{2}$
$=\left\{ 1+2+3+1\right\} ^{2}$
$=49$