$x^{2}+3x-2=0$

$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$

Karena $x_{1}=2x_{2}$, maka :

$2x_{2}+x_{2}+x_{3}=-\frac{(-6)}{1}$

$3x_{2}+x_{3}=6\Rightarrow x_{3}=6-3x_{2}$…..(1)

Ingat bahwa $x_{1}.x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}$

$2x_{2}.x_{2}+2x_{2}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{11}{1}=11$

$2x_{2}^{2}+3x_{2}x_{3}=11$….(2)

Substitusikan pers (1) ke pers (2) :

$2x_{2}^{2}+3x_{2}\left(6-3x_{2}\right)=11$

$2x_{2}^{2}+18x_{2}-9x_{2}^{2}=11$

$7x_{2}^{2}-18x_{2}+11=0$

$\left(7x_{2}-11\right)(x_{2}-1)=0$

$x_{2}=\frac{11}{7}$ atau $x_{2}=1$

Ambil $x{}_{2}=1$

Substitusikan nilai x = 1 ke fungsi awal agar diperoleh nilai m :

$(1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)+m=0$

$1-6+11+m=0$

$m=-6$

Fungsi $12x^{3}-kx^{2}+7x-12=0$, misalkan memiliki akar $x_{1},x_{2},$ dan $x_{3}$, dimana $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$

$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$

$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=\frac{-(-12)}{12}=1\Rightarrow x_{3}=1$

Berarti salah satu akarnya adalah $x=1$

Substitusikan nilai $x=1$ ke fungsi agar diperoleh nilai k :

$12(1)^{3}-k(1)^{2}+7(1)-12=0$

$12-k+7-12=0\Rightarrow k=7$

$x^{3}+4x^{2}-4x+k=0$

$\alpha+\beta+\gamma=-4$

Karena $\alpha=\beta+\gamma$, maka :

$\alpha+\alpha=-4$

$2\alpha=-4\Rightarrow\alpha=-2$

Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan diatas, maka bisa kita substitusikan langsung :

$(-2)^{3}+4(-2)^{2}-4(-2)+k=0$

$-8+16+8+k=0\Rightarrow k=-16$

Jadi nilai $\sqrt{\left(-k\right)^{-1}}=\sqrt{[-(-16)]^{-1}}=\sqrt{16^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

Misalkan $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+a$

$4$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka $f(x)$ akan sama dengan $0$ jika disubstitusikan dengan $x=4$

$f(4)=(4)^{3}-5(4)^{2}+2(4)+a=0$

$64-80+8+a=0\Rightarrow a=8$

Jadi $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8.$

Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ memiliki hasil kali $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$

Jadi hasil kali akar-akar dari $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+8$ adalah $x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{1}=-8$

Misalkan akar-akrnya adalah $x_{1},x_{2},$dan $x_{3}$

Misal akar yang berkebalikan adalah $x_{1}$dan $x_{2}$, maka berlaku $x_{1}=\frac{1}{x_{2}}$

Ingat bentuk perkalian akar-akar yang berpangkat tiga adalah :

$x_{1}.x_{2}.x_{3}=-\frac{d}{a}$

$\frac{1}{x_{2}}.x_{2}.x_{3}=-\frac{8}{2}=-4$

$x_{3}=-4$

Karena $x_{3}$merupakan akar dari fungsi tersebut, maka bisa disubstitusikan langsung yang akan menghasilkan $0$

$2(-4)^{3}+p(-4)^{2}-18(-2)+8=0$

$-128+16p+72+8=0$

$16p=48$

$p=3$

$f(x)$ dibagi dengan $x+a$ , maka :

$\begin{aligned} f(-a) &=(-a)^{3}-(-a)^{2}-2(-a)-3\\
&=-a^{3}-a^{2}+2a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(1)}\\
\end{aligned}$

$f(x)$ dibagi dengan $x-2a$, maka :

$\begin{aligned} f(2a)& =(2a)^{3}-(2a)^{2}-2(2a)-3\\
&=8a^{3}-4a^{2}+4a-3\rightarrow\mbox{Sisa…..(2)}\\
\end{aligned}$

Karena memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan $(x+a)$ maupun $(x-2a)$, maka dari pers (1) dan (2) :

$-a^{3}-a^{2}+2a-3=8a^{3}-4a^{2}+4a-3$

$9a^{3}-3a^{2}+2a=0$

Ingat bentuk $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ memiliki jumlah akar sebagai berikut :

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}$

Jadi jumlah akar yang mungkin dari pers $9a^{3}-3a^{2}+2a=0$ adalah:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}=-\frac{(-3)}{9}=\frac{1}{3}$

$v+w=-2u$

Ingat jumlah akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-b}{a}$

$u+v+w=-\frac{b}{a}$

$u-2u=\frac{-(-3)}{1}=3$

$-u=3\Rightarrow u=-3$

Substitsuikan $u=-3$ ke fungsi pers :

$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$

$-27-27+30+p=0$

$p=24$

Dengan demikian persaamaan diatas menjadi $x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

Ingat hasil kali akar-akar dari bentuk $ax^{2}+bx^{2}+cx+d=0$ adalah $\frac{-d}{a}$

Jadi hasil kali akar-akarnya adalah $\frac{-24}{1}=-24$

Misalkan akar-akar persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$ adalah $x_{1},x_{2},x_{3}$ , dan $x_{4}$

Membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, maka :

$x_{1,}x_{1}+2,x_{1}+4,x_{1}+6$ adalah deret aritmatika .

Ingat bentuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ memiliki :

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{b}{a}$ dan $x_{1}.x_{2}.x_{3}.x_{4}=\frac{e}{a}$

Dari persamaan $x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r=0$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{(-8)}{1}=8$

$x_{1}+(x_{1}+2)+(x_{1}+4)+(x_{1}+6)=8$

$4x_{1}+12=8$

$x_{1}=-1$

$x_{2}=x_{1}+2=-1+2=1$

$x_{3}=x_{1}+4=-1+4=3$

$x_{4}=x_{1}+6=-1+6=5$

$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$

$=\left(x+1\right)(x-1)(x-3)(x-5)$

$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$

$=(x^{2}-1)(x^{2}-8x+15)$

$x^{4}-8x^{3}+px^{2}-qx+r$

$=x^{4}-8x^{3}+14x^{2}+8x-15$

Sari pers diatas dapat diperoleh :

$p=14$

$q=-8$

$r=-15$

Jadi nilai $p+q+r=14-8-15=-9$

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$

$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^{2}-2\left(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma\right)$

$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$= $\left(-2\right)^{2}-2\left(3\right)=4-6=-2$

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-2}{1}=-2$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{3}{1}=3$

$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-4}{1}=-4$

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma}{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$

Misalkan akar-akar dari $x^{3}-6x^{2}+ax+10=0$ adalah $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$.

Karena membentuk deret aritmatika maka

$x_{1},$ $x_{1}+b,x_{1}+2b$ merupakan deret aritmatika dengan beda b.

(i)$x_{1}+x_{2}$+$x_{3}$= $\frac{-(-6)}{1}=6$

$x_{1}+$ $x_{1}+b+x_{1}+2b=6$

$3x_{1}+3b=6\Rightarrow x_{1}+b=2\Longleftrightarrow x_{1}=2-b$…..(1)

(ii) $x_{1}.x_{2}$.$x_{3}$= $\frac{-(10)}{1}=-10$

$x_{1}$ ($x_{1}+b)(x_{1}+2b)=6$

$\left(2-b)(2-b+b\right)(2-b+2b)=6$

$\left(2-b\right)(2)(2+b)=6$

$4-b^{2}=3$

$b^{2}-1=0$

$b=\pm1,$

Kita ambil $b=1$

Substitusikan pers (2) ke pers (1) sehingga diperoleh :

$x_{1}=2-1=1$

$x_{2}=1+1==2$

$x_{3}=1+2=3$

$x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{3}=\frac{-a}{1}=-a$

$1\cdot2+2\cdot3+1\cdot3=-a$

$2+6+3=-a$

$a=-11$

$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-(-5)}{2}=\frac{5}{2}$

$\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=\frac{4}{2}=2$

$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma=\frac{-6}{2}=-3$

Misalkan persamaan yang dimaksud adalah $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Persamaan yang memiliki akar-akar $2\alpha,2\beta,$dan $2\gamma$ :

$2\alpha+2\beta+2\gamma=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$

$=2\cdot\frac{5}{2}=5$

$2\alpha\cdot2\beta+2\alpha\cdot2\gamma+2\beta\cdot2\gamma=4(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$

$=4(2)=8$

$2\alpha\cdot2\beta\cdot2\gamma=8(-3)=-24$

Jika nilai a = 1, maka persamaannya adalah :

$x^{3}-5x^{2}+8x+24=0$

Diketahui $x^{3}+x^{2}-\frac{1}{2}x+2=0$ mempunyai akar $x_{1},x_{2}$ dan $x_{3}$, maka :

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1$

$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=\frac{1}{2}$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$

$=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\right)$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\left(-1\right)^{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)=1+1=2$

Dari pers $x^{3}-3x^{2}+2x-1=0$ dapat diperoleh bahwa :

$\alpha+\beta+\gamma=3$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=2$

$\alpha\beta\gamma=1$

$\left(\alpha+1\right)^{2}\left(\beta+1\right)^{2}\left(\gamma+1\right)^{2}=$$\left\{ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\right\} ^{2}$

$=\left\{ \left(\alpha\beta\gamma\right)+\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\right)+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)+1\right\} ^{2}$

$=\left\{ 1+2+3+1\right\} ^{2}$

$=49$