Perhatikan bahwa sudut $3\vec{a}$ dengan $2\vec{b}$ adalah $120^{\circ}$, sehingga kita punya

$|3\vec{a}+2\vec{b}|$$=\sqrt{|3\vec{a}|^{2}+|2\vec{b}|^{2}+2|3\vec{a}||2\vec{b}|\cos(120^{\circ})}$

$=\sqrt{36+36-36}=6$

Perhatikan bahwa dot product dari dua buah vektor bersifat distributif, sehingga

$\begin{aligned}\vec{b}\cdot(\vec{a}+\vec{b}) & =\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\\
& =|\vec{b}||\vec{a}|\cos(60^{\circ})+25\\
& =10+25\\
& =35.
\end{aligned}
$

Perhatikan bahwa kedua vektor memiliki dot product$0$, sehingga $2+2p-3=0$.

Jadi $p=\frac{1}{2}$.

$\begin{aligned}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} & =\left(\begin{array}{c}
4\\
1\\
-1
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
6\\
6\\
3
\end{array}\right)\\
& =24+6-3\\
& =27
\end{aligned}
$

Dua vektor dikatakan salaing tegak lurus jika $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

$\begin{aligned}\left(\begin{array}{c}
2\\
3\\
-4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
6\\
x-1
\end{array}\right) & =0\\
2+18-4(x-1) & =0\\
20-4x+4 & =0\\
4x & =24\\
x & =6
\end{aligned}
$

Perhatikan bahwa $\vec{a}\cdot\vec{b}=-16-1=-17$ , sehingga $|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\alpha)=-17$.

Perhatikan juga pula bahwa $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{17}$ , sehingga $17\cos(\alpha)=-17$ .

Jadi$\cos(\alpha)=-1.$

Tulis $\vec{a}=OA$ dan $\vec{b}=OB$.

Kita punya

$\begin{aligned}|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle AOB) & =\vec{a}\cdot\vec{b}\\
& =-2-3+6\\
& =1.
\end{aligned}
$

Kemudian

$\begin{aligned}|\vec{a}| & =\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}\\
& =\sqrt{14}
\end{aligned}
$

dan

$\begin{aligned}|\vec{b}| & =\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+2^{2}}\\
& =\sqrt{14}
\end{aligned}
$

sehingga $\cos(\angle AOB)=\frac{1}{14}$.

Perhatikan bahwa $\vec{b}-\vec{a}=(-2,-4,5)$ dan$\vec{a}-\vec{c}=(1,\,0,\,2)$, sehingga

$\begin{aligned}(\vec{b}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c}) & =(-2,-4,5)\cdot(1,0,2)\\
& =8
\end{aligned}
$

Perhatikan bahwa

$\begin{aligned}\vec{u}\cdot\vec{v} & =|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\frac{1}{3}\pi)\\
& =\frac{1}{2}.
\end{aligned}
$

Kemudian, kita juga punya $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}=1.$

Jadi, kita punya

$\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b} & =(2\vec{u}+4\vec{v})\cdot(4\vec{u}+2\vec{v})\\
& =8(\vec{u}\cdot\vec{u})+20(\vec{u}\cdot\vec{v})+8(\vec{v}\cdot\vec{v})\\
& =8+10+8=26
\end{aligned}
$

$|\vec{p}|=|\vec{q}|=\sqrt{14}.$

Kemudian, $\vec{p}\cdot\vec{q}=7.$

Jadi jika sudut antara kedua vektor adalah $\theta$, maka

$\begin{aligned}\cos(\theta) & =\frac{7}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}\\
& =\frac{1}{2}
\end{aligned}
$

Sehingga $\theta=\frac{\pi}{3}$.

Kita punya vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a}\times\vec{b}$, sehingga

$\vec{a}\times\vec{b}=(-2,1,3)\times(3,-1,-1)$.

Ditulis dalam bentuk matriks, kita punya

$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
-2 & 1 & 3\\
3 & -1 & -1
\end{pmatrix}\right|$

sehingga $\vec{a}\times\vec{b}=2\vec{i}+7\vec{j}-\vec{k}.$

Perhatikan bahwa lawan dari vektor ini juga tegak lurus dengan $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ , sehingga jawaban yang benar adalah $-2\vec{i}-7\vec{j}+\vec{k}$.

Kita punya $\vec{a}\cdot\vec{b}=p^{2}$, dan

$\begin{aligned}|\vec{a}| & =|\vec{b}|\\
& =\sqrt{9+16+p^{2}}\\
& =\sqrt{p^{2}+25}
\end{aligned}
$

Maka, $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^{o})$ sehingga $\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|$.

Jadi, $2\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$, sehingga bisa ditulis $2p^{2}=p^{2}+25$. Jadi, $p^{2}=25$, sehingga $p=\pm5$.

Perhatikan$\begin{aligned}\vec{a}\cdot\vec{b} & =-1+6\\
& =5
\end{aligned}
$ dan$\begin{aligned}|\vec{a}| & =\sqrt{2^{2}+1^{2}}\\
& =\sqrt{5}
\end{aligned}
$ serta $\begin{aligned}|\vec{b}| & =\sqrt{1^{2}+3^{2}}\\
& =\sqrt{10}
\end{aligned}
$

Misalkan $\theta$ adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.

Maka, kita punya $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$, sehingga $5=\sqrt{5}\sqrt{10}\cos(\theta)$, sehingga $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Jadi $\theta=45^{\circ}$.

Perhatikan bahwa:

$\begin{aligned}|\overrightarrow{OC}| & =\sqrt{a^{2}+a^{2}}\\
& =\sqrt{2a^{2}}\\
& =|a|\sqrt{2}
\end{aligned}
$ dan $\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| & =\sqrt{(-a)^{2}+(2a)^{2}}\\
& =|a|\sqrt{5}
\end{aligned}
$

(perhatikan bahwa $\sqrt{x^{2}}=|x|$, bukan $x$)

$\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC} & =-a^{2}+2a^{2}\\
& =a^{2}
\end{aligned}
$

Sehingga, jika $\theta$ adalah sudut antara $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{OC}$, maka $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{AB}|\cos(\theta)$,

sehingga $a^{2}=|a|\sqrt{2}|a|\sqrt{5}\cos(\theta)$, sehingga $a^{2}=a^{2}\sqrt{10}\cos(\theta)$

Jadi $\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}.$

Perhatikan bahwa $\vec{a}\cdot\vec{b}=6$, dan $\begin{aligned}|\vec{a}| & =\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}\\
& =\sqrt{25}\\
& =5
\end{aligned}
$ serta $\begin{aligned}|\vec{b}| & =\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\\
& =\sqrt{8}\\
& =2\sqrt{2}
\end{aligned}
$

Jadi jika $\theta$ adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$, maka $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)$,
sehingga $6=10\sqrt{2}\cos(\theta)$.

Jadi $\cos(\theta)=\frac{3\sqrt{2}}{10}$.

Perhatikan bahwa $\theta<180^{\circ}$, sehingga;

$\begin{aligned}\sin(\theta) & =\sqrt{1-\cos(\theta)^{2}}\\
& =\sqrt{1-\frac{18}{100}}\\
& =\sqrt{\frac{82}{100}}\\
& =\frac{\sqrt{82}}{10}
\end{aligned}
$