Titik $(1,\,2)$ berada pada kurva $f(x)$

$f(x)=2+x-x^{2}$

$f'(x)=m=1-2x$

$(1,\,2)\rightarrow m_{gs}=1-2(1)=-1$

Persamaan garis singgung :

$y-2=-1(x-1)$

$y-2=-x+1$

$x+y-3=0$

Titik $(1,\,2)$ berada pada kurva $f(x)$

$f(x)=2+x-x^{2}$

$f'(x)=m=1-2x$

$(1,\,2)$$\rightarrow m_{gs}=1-2(1)=-1$

$\begin{aligned}m_{gn} & =-\frac{1}{m_{gs}}\\
& =-\frac{1}{-1}\\
& =1
\end{aligned}
$

persamaan garis singgung :

$\begin{aligned}y-2 & =1(x-1)\\
y-2 & =x-1\\
x-y+1 & =0
\end{aligned}
$

Titik $(0,\,-1)$ berada pada kurva $y=x^{2}-x-2$

$f'(x)=y’=m=2x-1$

$\left(-1,0\right)\Rightarrow m_{gs}=2(-1)-1$$=-3$

$\begin{aligned}m_{gn} & =-\frac{1}{m_{gs}}\\
& =-\frac{1}{-3}\\
& =\frac{1}{3}
\end{aligned}
$

Persamaan garis normal pada titik (-1,0) :

$y-y_{1}=m_{gn}(x-x_{1})$

$y-0=\frac{1}{3}(x+1)$

$3y=x+1$

$x-3y+1=0$

$y=x\left(x-3\right)^{2}$, melalui titik dengan absis $=-1$

$\begin{aligned}y & =1\left(-1-3\right)^{2}\\
& =16
\end{aligned}
$

berarti titik itu adalah $(-1,\,16)$

$y=x^{3}-6x^{2}+9x$

$y’=3x^{2}-12x+9$

$\left(-1,\,4\right)\rightarrow$$\begin{aligned}y’ & =m\\
& =3(-1)^{2}-12(-1)+9\\
& =24
\end{aligned}
$

Jadi persamaan garis singgungnya :

$\begin{aligned}y-16 & =24(x+1)\\
y & =24x+8.
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}y’ & =m\\
& =tan\alpha\\
& =2x-1
\end{aligned}
$

di titik $(1,\,0)\rightarrow$$\begin{aligned}m & =tan\alpha\\
& =2(1)-1\\
& =1
\end{aligned}
$

Jadi $\alpha=45^{\circ}.$

$y=x^{3}-2x^{2}+4$

$x=1\Rightarrow$$\begin{aligned}y & =(2)^{3}-2(2)^{2}+4\\
& =4
\end{aligned}
$

$y’=3x^{2}-4x$

$\begin{aligned}y’ & =m\\
& =3(2)^{2}-4(2)\\
& =12-8\\
& =4
\end{aligned}
$

Jadi persamaan garis singgung di titik $(2,\,4)$ bergradien $4$ adalah :

$\begin{aligned}y-4 & =4(x-2)\\
y-4 & =4x-8\\
\Rightarrow y & =4x-4.
\end{aligned}
$

Substitusikan titik $(2,\,4)$ ke fungsi kurva $y=x^{2}+ax+b:$

$4=2^{2}+2a+b$

$b=-2a$

$y=2x$$\Rightarrow y’=m_{gs}=2$ ….(1)

y = $x^{2}+ax+b$

$\Rightarrow m_{gs}=2x+a$

$m_{gs}$ di titik $(2,\,4)$ adalah $\begin{aligned}m_{gs} & =2(2)+a\\
& =4+a
\end{aligned}
$…..(2)

Substitusikan pers (1) ke pers (2) :

$2=4+a$

$a=-2$

Substitusikan nilai $a=-2$ ke pers $b=-2a=4$

Jadi nilai $\begin{aligned}a+b & =-2+4\\
& =2
\end{aligned}
$

$y=4x^{3}-5x^{2}$

Gradien garis singgung kurva $y’=12x^{2}-10x$, di titik $(1,\,-1)$ adalah

$\begin{aligned}y’ & =12\left(1\right)^{2}-10(1)\\
& =12-10\\
& =2
\end{aligned}
$

Garis yang sejajar garis singgung kurva memiliki gradien yang sama yaitu $2$.

Persamaan garis yang melalui titik $(2,\,-3)$ dan bergradien $2$ :

$\begin{aligned}y+3 & =2(x-2)\\
y & =2x-7.
\end{aligned}
$

$y=x^{2}+x+a$

$\begin{aligned}y & =(-1)^{2}+(-1)+a\\
& =a
\end{aligned}
$

Jadi koordinat titik $P(-1,\, a)$

$y’=2x+1$

$\begin{aligned}y’ & =2(-1)+1\\
& =-1
\end{aligned}
$

garis tegak lurus h syaratnya

$\begin{aligned}m_{g}\cdot m_{h} & =-1\\
\rightarrow m_{g.}(-1) & =-1
\end{aligned}
$

$\Longleftrightarrow m_{g}=1$

Persamaan garis g di titik $P(-1,\, a)$ adalah :

$y-a=1(x+1)$

Melalui titik $(0,\,0)$

$0-a=1(0+1)$

$\rightarrow a=-1.$

$y^{2}=6x$$\rightarrow y=\sqrt{6x}$

$y’=m=tan\alpha$

$\frac{6}{2\sqrt{6x}}=tan45^{\circ}$$\rightarrow3=\sqrt{6x}$ (kuadratkan kedua ruas)

$\begin{aligned}9 & =6x\\
\Rightarrow x & =\frac{3}{2}
\end{aligned}
$

Jika $x=\frac{3}{2}$, maka

$\begin{aligned}y & =\sqrt{6\left(\frac{3}{2}\right)}\\
& =3
\end{aligned}
$

Jadi koordinat titik $P\left(\frac{3}{2},\,3\right).$

$y-3x^{2}=0$$\Rightarrow y=3x^{2}$

$y’=6x$….(1)

$y-2x^{2}-6x=0$

$\Rightarrow y=2x^{2}+6x$

$y’=4x+6$….(2)

Karena garis singgung dari dua kurva tersebut sejajar, maka memiliki gradien yang sama, sehingga dari pers (1) dan (2):

$6x=4x+6$

$2x=6$$\Rightarrow x=3$

Jika $x=3$, maka

$\begin{aligned}y’ & =m\\
& =6(3)\\
& =18
\end{aligned}
$

Jadi koefisien arah garis singgung adalah $18.$

Gradien garis singgung $y’=3x^{2}$

Gradien garis $x+3y=2$ adalah $-\frac{1}{3}$

syarat tegak lurus yaitu $m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$3x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$

$\rightarrow x^{2}-1\Longleftrightarrow x=\pm1$

(i) untuk $x=1$, maka $y=\left(1\right)^{3}+5=6$

persamaan garis singgungnya di titik $(1,\,6)$ dan bergradien $3$:

$y-6=3(x-1)$$\rightarrow3x-y+3=0$

(ii) untuk $x=-1$, maka $y=\left(-1\right)^{3}+5=4$

persamaan garis singgung di titik $(-1,\,4)$ dan bergradien $3$:

$y-4=3(x+1)$$\rightarrow3x-y+7=0$

Jadi persamaan garis singgungya adalah $3x-y+3=0$ dan $3x-y+7=0.$

$y=sinx+cosx$

$x=\frac{1}{3}\pi$

$\begin{aligned}\Rightarrow & y=sin\frac{1}{3}\pi+cos\frac{1}{3}\pi\\
& =\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}
\end{aligned}
$

titik singgung $\left(\frac{1}{3}\pi,\,\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)$

Misalkan $m_{1}$ adalah gradien kurva

$\begin{aligned}y’ & =m_{1}\\
& =cosx-sinx
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}y’ & =m_{1}\\
& =cos\frac{1}{3}\pi-sin\frac{1}{3}\pi\\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}
\end{aligned}
$

Syarat tegak lurus :$m_{1}\cdot m_{2}=-1$

$\begin{aligned}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\cdot m_{2} & =-1\\
\Rightarrow m_{2} & =\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\
& =\sqrt{3}+1.
\end{aligned}
$

Misalkan $m_{1}$ gradien garis singgung kurva

$y=tanx$$\Rightarrow y’=m_{1}=sec^{2}x$

di titik $\left(\frac{\pi}{4},\,1\right)$:

$\begin{aligned}y’ & =m_{1}\\
& =sec^{2}x\\
& =\frac{1}{cos^{2}x}\\
& =\frac{1}{cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)}\\
& =2
\end{aligned}
$

Syarat tegak lurus adalah $m_{1}\cdot m_{2}=-1$$\Rightarrow m_{2}=-\frac{1}{2}$

Persamaan garis singgung di titik $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ dan bergradien $-\frac{1}{2}$ :

$y-1=-\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4})$

$y=-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}+1.$

Jarak titik garis – garis tersebut adalah :

$y_{parabola}-y_{garis}$$=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+3\frac{3}{4}-x$

$d(x)=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+3\frac{3}{4}$

$d(x)$ maksimum ketika $d'(x)=0$

$-x+\frac{1}{2}=0$$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

Jarak maksimum :

$\begin{aligned}d\left(\frac{1}{2}\right) & =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{15}{4}\\
& =3\frac{7}{8}.
\end{aligned}
$