Perhatikan gambar berikut :

Daerah yang diarsir merupakan daerah yang memenuhi $y=3x$, $x=2$, dan $y=0$

$\begin{aligned}L & =\int_{0}^{2}3x\, dx\\
& =\left[\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{2}\\
& =\frac{3}{2}(2)^{2}-\frac{3}{2}(0)^{2}\\
& =6-0\\
& =6
\end{aligned}
$

Jadi luas daerahnya adalah $6$ satuan luas.

Titik potong antara kurva $y=-x^{2}+8x$ dan garis $y=6x-24$:

$-x^{2}+8x=6x-24$

$x^{2}-2x-24=0$

$\left(x-6\right)(x+4)=0$

$x=6$ atau $x=-4$

Perhatikan gambar berikut :

Luas D1 $=\int_{0}^{4}\left(-x^{2}+8x\right)\, dx$

Luas D2 $=\int_{6}^{8}\left(-x^{2}+2x+24\right)\, dx$

Jadi luas daerah keseluruhan$=\int_{0}^{4}\left(-x^{2}+8x\right)dx$$+\int_{4}^{8}\left(-x^{2}+2x+24\right)dx.$

Perhatikan kurva $y=2\, sinx$

$\mbox{Luas}=\begin{array}{c}
\pi\\
\int\\
\frac{\pi}{2}
\end{array}2\sin x-\begin{array}{c}
3\frac{\pi}{2}\\
\int\\
\pi
\end{array}2\sin x$

$\begin{aligned}\mbox{Luas } & =2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}2\sin x\, dx\\
& =4\left[-cosx\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\\
& =4\left\{ -cos\pi-\left(-cos\frac{\pi}{2}\right)\right\} \\
& =4\left(1-0\right)=4
\end{aligned}
$

Jadi luas derahnya adalah 4 satuan luas.

Titik potong kurva $y=x^{2}$, $y=x^{2}-4x+4$

$x^{2}=x^{2}-4x+4$

$4x=4$

$x=1$

Perhatikan gambar berikut :

Luas D1 $=\int_{0}^{1}x^{2}dx$

Luas D1 $=\int_{1}^{2}\left(x^{2}-4x+4\right)\, dx$

Luas daerah keseluruhan $=\int_{0}^{1`}x^{2}dx+\int_{1}^{2}\left(x^{2}-4x+4\right)\, dx.$

Cari titik portong kurva terlebih dahulu

$x-y=1$$\rightarrow x=y+1$ ….(1)

$x=y^{2}-1$….(2)

substitusikan pers (1) ke pers (2) sehingga diperoleh :

$y+1=y^{2}-1$

$y^{2}-y-2=0$

$\left(y-2\right)(y+1)=0$

$y=2$$\rightarrow x=2+1=3$, koordinat titik potong (3,2)

$y=-1$$\rightarrow x=-1+1=0$, koordinat titik potong (0,-1)

$L=\int_{-1}^{2}\{y+1-\left(y^{2}-1\right)\}dy$

$L=\int_{-1}^{2}(-y^{2}+y+2)dy$

$=\left[-\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}y^{2}+2y\right]_{-1}^{2}$

$=\left(-\frac{1}{3}(2)^{3}+\frac{1}{2}(2)^{2}+2(2)\right)$$-\left(-\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{2}(-1)^{2}+2(-1)\right)$

$\begin{alignedat}{1}L & =-\frac{8}{3}+2+4-(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2)\\
& =-\frac{9}{3}+6+2-\frac{1}{2}\\
& =4\frac{1}{2}.
\end{alignedat}
$

Sketsa grafiknya seperti gambar berikut!

$L=\int_{-1}^{1}(12-3x^{2}-(6-3x))\, dx$

$=\int_{-1}^{1}(-3x^{2}+3x+6)\, dx$

$=3\int_{-1}^{1}(-x^{2}+x+2)\, dx$

$L=3\left[-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+2x\right]_{-1}^{1}$

$=3\{-\frac{1}{3}(1)^{3}+\frac{1}{2}(1)^{2}+2(1)$$-\left(-\frac{1}{3}(-1)^{3}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+2(-1)\right)\}$

$=3\left[-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right]$

$=3\left(4-\frac{2}{3}\right)$

$=3(\frac{10}{3})$

$=10$

Jadi luas daerah yang diarsir adalah $10$ satuan luas.

Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi garis $x+y=4$ dan kurva $y=x^{2}-4x$ dengan batas $x=-1$ dan $x=0$

$x+y=4$$\rightarrow y=4-x$

$\begin{aligned}L & =\int_{-1}^{0}(4-x-(x^{2}-4x))\, dx\\
& =\int_{-1}^{0}(-x^{2}+3x+4)\, dx\\
& =-\int_{0}^{-1}(-x^{2}+3x+4)\, dx\\
& =\int_{0}^{-1}(x^{2}-3x-4)\, dx.
\end{aligned}
$

Perhatikan gambar berikut!

$\begin{aligned}L & =\int_{1}^{3}(-x^{2}+4x)\\
& =\left[-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}\right]_{1}^{3}\\
& =\left(-\frac{1}{3}(3)^{3}+2(3)^{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}(1)^{3}+2(1)^{2}\right)\\
& =-9+18+\frac{1}{3}-2\\
& =7\frac{1}{3}
\end{aligned}
$

Cari dulu persamaan garis lurus yang melalui titik $(0,\,3)$ dan $(1,\,4)$ :

$\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-3}{4-3}$

$x=y-3$$\rightarrow y=x+3$

Partisikan untuk mencari luas daerah yang diarsir :

$L_{1}$ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}$ dan garis $y=x+3:$

$\begin{aligned}L_{1} & =\int_{0}^{1}\left(x+3-x^{2}\right)\, dx\\
& =\left[\frac{1}{2}x^{2}+3x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}\\
& =\frac{1}{2}+3-\frac{1}{3}=\frac{19}{6}
\end{aligned}
$

$L_{2}$ adalah daerah yang dibatasi oleh garis y = 4 dan kurva $y=x^{2}$

$\begin{aligned}L_{2} & =\int_{1}^{2}(4-x^{2})\, dx\\
& =\left[4x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{2}\\
& =\left(4(2)-\frac{1}{3}(2)^{3}\right)-\left(4(1)-\frac{1}{3}(1)^{3}\right)\\
& =8-\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}\\
& =4-\frac{7}{3}\\
& =\frac{5}{3}
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}L & =L_{1}+L_{2}\\
& =\frac{19}{6}+\frac{5}{3}\\
& =\frac{19+10}{6}\\
& =\frac{29}{6}
\end{aligned}
$

Jadi luas daerah yang diarsir adalah $\frac{29}{6}$ satuan luas.

$L=\int_{-2}^{2}\sqrt{x+2}dx$

$=\left[\frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2}\right]_{-2}^{2}$

$=\left(\frac{2}{3}(2+2)\sqrt{2+2}-\left(\frac{2}{3}(-2+2)\sqrt{-2+2}\right)\right)$

$=\frac{16}{3}-0=5\frac{1}{3}$.

$\int_{0}^{b}x\cdot dx=\int_{0}^{b}x^{2}\cdot dx$

$\left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{b}=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{b}$

$\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{3}b^{3}$

$2b^{3}-3b^{2}=0$

$b^{2}\left(2b-3\right)=0$

$b=0$ atau $b=\frac{3}{2}$

Perpotongan antara garis $y=x^{2}$ dan garis $y=x:$

$x^{2}-x=0$

$x\left(x-1\right)=0$

$x=0$ atau $x=1$

Luas daerah yang diarsir adalah :

$L=\int_{1}^{\frac{3}{2}}(x^{2}-x)dx$

$=\left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}$

$=\left(\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\left(1\right)^{3}-\frac{1}{2}\left(1\right)^{2}\right)$

$=\frac{9}{8}-\frac{9}{8}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{6}.$

Cari titik potong antara garis $y=\sqrt{px}$ dan $y=x:$

$\sqrt{px}=x$

$px=x^{2}$

$x\left(x-p\right)=0$

$x=0$ atau $x=p$

Perhatikan gambar berikut!

$\begin{aligned}L & =\int_{0}^{p}\left(\sqrt{px}-x\right)dx\\
& =\left[\frac{2}{3p}\left(px\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{p}
\end{aligned}
$

$\frac{3}{2}=\frac{2}{3p}\left(p^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}p^{2}$

$\frac{2}{3}=\frac{2}{3}p^{2}-\frac{1}{2}p^{2}=\frac{p^{2}}{6}$

$p^{2}=4$

$p=\pm2$

$p=-2$ (tidak memenuhi) karena $px>0$

$p=2$ (memenuhi)

Jadi nilai $p$ adalah $p=2.$

Perhatikan gambar berikut

Luas $D_{1}=$ Luas $D_{1}$

$\int_{0}^{c}(4-x^{2})dx=\int_{0}^{c}x^{2}dx$

$\left[4x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{c}^{2}=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{c}$

$\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(4c-\frac{1}{3}c^{3}\right)=\frac{1}{3}c^{3}$ (semua ruas kalikan dengan 3 )

$24-8-12c+c^{3}=c^{3}$

$12c=16$

$c=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$

Luas daerah yang diarsir $=4c$$=4\left(\frac{4}{3}\right)$$=\frac{16}{3}.$

$x-y=4$$\rightarrow x=y+4$…. (1)

$y^{2}=2x$ ….(2)

Cari titik perpotongan dengan mensubstitusikan pers (1) ke pers (2) :

$y^{2}=2(y+4)$

$y^{2}-2y-8=0$

$\left(y-4\right)(y+2)=0$

$y=4$, maka $x=4+4=8$

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang diarsir $=\int_{0}^{8}\sqrt{2x}dx-\int_{4}^{8}\left(x-4\right)dx$

Luas daerah yang diarsir $=\left[\frac{2x\sqrt{2x}}{3}\right]_{0}^{8}-\left[\frac{1}{2}x^{2}-4x\right]_{4}^{8}$

$=\left(\frac{16\sqrt{16}}{3}\right)-\left[\left(32-32\right)-\left(8-16\right)\right]$

$=\frac{64}{3}-8$

$=\frac{64-24}{3}$

$=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}.$

Cari dulu persamaan kurva.

persamaan kurva yang memotong sumbu x di titik $(-2,\,0)$ dan $(2,\,0)$ :

$y=a(x-2)\,(x+2)$

melalui titik $(0,\,-4):$

$-4=a(0-2)\,(0+2)$

$-4=-4a$$\rightarrow a=1$

$y=1(x-2)(x+2)=x^{2}-4$

Jadi persamaan kurva adalah $y=x^{2}-4$

Cari dulu persamaan garis

Persamaan garis yang melalui titik $(-1,\,-3)$ dan $(3,\,5):$

$\frac{x-(-1)}{3-(-1)}=\frac{y-(-3)}{5-(-3)}$

$\frac{x+1}{4}=\frac{y+3}{8}$

$8(x+1)=4(y+3)$

$8x+8=4y+12$$\rightarrow2x+2=y+3$

$y=2x-1$

Titik potong terhadap sumbu $x$ yaitu $\left(\frac{1}{2},\,0\right)$

Perhatikan gambar berikut :

Luas daerah yang diarsir = Luas$\triangle ABC-$ Luas $D_{1}$

Luas daerah yang diarsir

$\begin{aligned}L & =\frac{1}{2}\cdot\left(3-\frac{1}{2}\right)\cdot5-\int_{2}^{3}(x^{2}-4)dx\\
& =\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot5-\left[\frac{1}{3}x^{3}-4x\right]_{2}^{3}
\end{aligned}
$

Luas daerah yang diarsir

$\begin{aligned}L & =\frac{25}{4}-\left\{ \left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)\right\} \\
& =\frac{25}{4}-\left(-3+8-\frac{8}{3}\right)\\
& =\frac{25}{4}+\frac{8}{3}-5\\
& =\frac{75+32-60}{12}\\
& =\frac{47}{12}.
\end{aligned}
$