Fungsi kuadrat yang memotong sumbu $x$ di titik ($x_{1},0)$ dan $\left(x_{2},0\right)$adalah :

$y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$

$y=a(x+3)(x-3)$

Melalui titik $(0,-9):$

$\begin{aligned}-9 & =a(0+3)(0-3)\\
-9 & =-9a\\
a & =1
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}y & =1(x+3)(x-3)\\
& =-9+x^{2}
\end{aligned}
$

Jadi Fungsi kuadratnya adalah $y=9-x^{2}.$

Fungsi kuadrat yang diketahui titik puncaknya adalah :

$y=a\left(x-x_{e}\right)^{2}+y_{e}$

$y=a\left(x-1\right)^{2}+3$

Melalui titik $(0,5)$ sehingga :

$5=a\left(0-1\right)^{2}+3\rightarrow a=2$

$y=2\left(x-1\right)^{2}+3$

$\begin{aligned}y & =2\left(x^{2}-2x+1\right)+3\\
& =2x^{2}-4x+5
\end{aligned}
$

Fungsi kuadrat tersebut artinya terbuka ke bawah dan berpotongan di titik $(1,0)$ dan $(2,0)$ serta melalui $(0,-2)$

Fungsi kuadrat yang memotong sumbu $x$ di dua titik adalah :

$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

$y=a(x-1)(x-2)$

Melalui titik $(0,-2)$

$-2=a(0-1)(0-2)\rightarrow a=-1$

Jadi fungsi kuadratnya adalah

$\begin{aligned}y & =-(x-1)(x-2)\\
& =-x^{2}+3x-2
\end{aligned}
$

Syarat menyinggung sumbu $x$ adalah $D=0$

$D=\left(-4m\right)^{2}-4(m+1)(3m)=0$

$D=16m^{2}-12m^{2}-12m=4m^{2}-12m=0$

$=4m(m-3)=0$

$m=0$ atau $m=3$

Syarat Definit positif adalah $a>0$ dan $D<0$

$*\ a>0\rightarrow m+1>0\rightarrow m>-1$

$\begin{aligned}*\ D & =\left(-4m\right)^{2}-4(m+1)(3m)=0<0\\
& =4m(m-3)<0
\end{aligned}
$

$0 < m < 3$

$a=m+2,\ b=-(2m+1)$ dan $c=m-2$

Syarat memotong sumbu $x$ di dua titik berlainan adalah $D>0$

$D=\left(2m+1\right)^{2}-4(m+2)(m-2)>0$

$D=4m^{2}+4m+1-4m^{2}+16>0$

$=4m>-17\rightarrow m>-\frac{17}{4}$

$a\left(x+1\right)^{2}=3x+2$

$ax^{2}+2ax+a-3x-2=0$

$ax^{2}+(2a-3)x+a-2=0$

Syarat memiliki dua akar positif dan negatif yaitu :

(i) $x_{1}x_{2} < 0\rightarrow\frac{a-2}{a} < 0$

$0 < a < 2$….(1)

(ii) $D > 0$

$D=\left(2a-3\right)^{2}-4a(a-2) > 0$

$4a^{2}-12a+9-4a^{2}+8a > 0$

$-4a+9 < 0\rightarrow a > \frac{9}{4}$….(2)

Irisan dari persamaan (1) dan (2) adalah $0 < a < 2$ atau $a < \frac{9}{4}.$

$f(x)=x^{2}+4x+3$

$\begin{aligned}x_{e} & =\frac{-4}{2}\\
& =-2
\end{aligned}
$

$\begin{aligned}y_{e} & =f(-2)\\
& =(-2)^{2}+4(-2)+3\\
& =4-8+3\\
& =-1
\end{aligned}
$

Jadi titik puncaknya adalah $(-2,-1)$

Fungsi kuadrat yang puncaknya $(-2,-1)$ dan melalui $(-1,3)$ adalah

$y=a\left(x-x_{e}\right)^{2}+y_{e}$

$y=a\left(x+2\right)^{2}-1$, melalui $(-1,3)$

$3=a(-1+2)^{2}-1$

$4=a$

Jadi fungsi kuadratnya adalah

$\begin{aligned}y & =4(x+2)^{2}-1\\
& =4(x^{2}+4x+4)-1\\
& =4x^{2}+16x+15
\end{aligned}
$

Karena kurva terbuka ke atas maka $a>0$

Kurva memotong sumbu $x$ negatif dan poisitif maka nilai $c<0$

$f(0)=c=6$

$f(1)=a+b+6=5\rightarrow a+b=-1$…(1)

$f(2)=4a+2b+6=28\rightarrow2a+b=11$…(2)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh $a=12$ dan $b=-13$

Persamaan kuadratnya adalah $f(x)=12x^{2}-13x+6$

$f(x)=0\rightarrow\left(3x-2\right)\left(2x-3\right)=0$

Jadi niai $x$ yang memenuhi adalah $\frac{2}{3}$ dan$\frac{3}{2}$

Syarat menyinggung adalah $D=0$

$2x^{2}+3x-5=x+n$

$2x^{2}+2x-5-n=0$

$D=2^{2}-4(2)(-5-n)=0$

$4+40+8n=0\rightarrow8n=-44\rightarrow n=-5,5$

Syarat memotong sumbu $x$ dan di titik berbeda sebelah kanan $O(0,0)$ adalah :

(i)$D < 0\rightarrow\left(p\right)^{2}-4(2)(p+6) < 0$

$p^{2}-8p-48 < 0$

$\left(p-12\right)\left(p+4\right) < 0$….pers (1)

(ii) $x_{1}+x_{2} < 0\rightarrow-\frac{p}{2} < 0\rightarrow p<0$...pers (2)

(iii) $x_{1}x_{2} < 0\rightarrow\frac{p+6}{2} < 0\rightarrow p < -6$...pers (3)

Irisan dari pers (1), (2), dan (3) adalah $-6 < p < -4$

Karena garis dan kurva berpotongan maka :

$ax+b=2x^{2}+5$

$2x^{2}-ax+5-b=0$

$*\ x_{1}+x_{1}=\frac{a}{2}=4\rightarrow a=8$

$*\ x_{1}x_{2}=\frac{5-b}{2}=3\rightarrow5-b=6\rightarrow b=-1$

Perpotongannya adalah:

$mx^{2}+(m-5)x+10=2x+1$

$mx^{2}+(m-7)x+9=0$

Syarat menyinggung $D=0$

$D=\left(m-7\right)^{2}-4m(9)=0$

$m^{2}-14m+49-36m=0$

$m^{2}-50m+49=0$

$\left(m-49\right)\left(m-1\right)=0$

$m=49$ atau $m=1$

$y_{1}=mx^{2}-2mx+m$ dan $y_{2}=2x^{2}-3$

Karena $y_{1}$ diatas $y_{2}$, maka $y_{1}>y_{2}$

$mx^{2}-2mx+m>2x^{2}-3$

$(m-2)x^{2}-2mx+(m+3)>0$

Syarat :

$*\ a>0\rightarrow m-2>0\rightarrow m>2….(1)$

$*\ D<0\rightarrow(-2m)^{2}-4(m-2)(m+3)<0$

$4m^{2}-4m^{2}-4m+24<0$

$m>6$….(2)

Irisan (1) dan (2) adalah $m>6$