Kalau kamu tertarik untuk mempelajari tentang Besaran Gerak Dua & Tiga Dimensi, simak pembahasannya di sini. Kami juga telah menyiapkan kuis berupa latihan soal dengan tingkatan yang berbeda-beda agar kamu bisa mempraktikkan materi yang telah dipelajari.
Lewat pembahasan ini, kamu bisa belajar mengenai Besaran Gerak Dua & Tiga Dimensi. Kamu akan diajak untuk memahami materi dan tentang metode menyelesaikan soal.
Kamu juga akan memperoleh latihan soal interaktif yang tersedia dalam tiga tingkat kesulitan, yaitu mudah, sedang, dan sukar. Tertarik untuk mempelajarinya?
Sekarang, kamu bisa mulai mempelajari materi lewat uraian berikut. Apabila materi ini berguna, bagikan ke teman-teman kamu supaya mereka juga mendapatkan manfaatnya.
Kamu dapat download modul & kumpulan soal dalam bentuk pdf pada link dibawah ini:
Definisi
Gerak dua dimensi dapat dimodelkan dengan sebuah partikel yang bergerak pada suatu bidang, sedangkan gerak tiga dimensi dapat dimodelkan sebagai sebuah partikel yang bergerak di dalam suatu ruang. Gerak di masing arah tidak saling mempengaruhi. Arah gerak pada sumbu $x$ tidak mempengaruhi arah gerak pada sumbu $y$ dan $z.$ Hal ini berlaku sebaliknya.
1. Posisi dan Perpindahan
Vektor posisi partikel yang bergerak dalam suatu bidang $xy$ dapat dinyatakan sebagai berikut.
\begin{equation}
\overrightarrow{r}=xi+yj
\end{equation}
dengan $i$ dan $j$ adalah vektor satuan pada arah sumbu $x$ dan $y.$ Jika partikel bergerak dalam sutu ruang $xyz$ maka persamaan (1) dapat dikembangkan menjadi persamaan (2) sebagai berikut.
\begin{equation}
\overrightarrow{r}=xi+yj+zk
\end{equation}
dengan $k$ adalah vektor satuan pada arah sumbu $z.$
Perubahan posisi untuk gerak satu hingga tiga dimensi memiliki definisi yang sama, yaitu perubahan posisi. Jika suatu partikel berpindah dari posisi awal $r_{i}$ ke posisi akhir $r_{f}$ dalam suatu ruang maka vektor perpindahannya dapat dinyatakan sebagai berikut.
\begin{equation}
\Delta\overrightarrow{r}=\Delta xi+\Delta yj+\Delta zk
\end{equation}
dengan $\Delta x=x_{f}-x_{i};\,\Delta y=y_{f}-y_{i}$ dan $\Delta z=z_{f}-z_{i}$. Indeks $i$ untuk menyatakan komponen posisi awal (initial) dan $f$ untuk menyatakan komponen posisi akhir (final position). Besar perpindahannya dapat dinyatakan dengan persamaan (4) sebagai berikut.
\begin{equation}
\left|\Delta\overrightarrow{r}\right|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}
\end{equation}
2. Kecepatan dan Percepatan
Jika besar perubahan posisi (persamaan (3)) terjadi selama rentang waktu $\Delta t$, maka besar kecepatan rata-rata partikel dinyatakan sebagai berikut.
\begin{equation}
\vec{v}=\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}i+\frac{\Delta y}{\Delta t}j+\frac{\Delta z}{\Delta t}k
\end{equation}
Sedangkan kecepatan sesaat partikel dapat diturunkan dari fungsi posisi terhadap waktu.
\begin{equation}
\vec{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j+\frac{dz}{dt}k=v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k
\end{equation}
Untuk gerak dengan percepatan konstan, kecepatan partikel dapat dinyatakan sebagai $v_{f}=v_{i}+at,$ sehingga untuk gerak tiga dimensi, kecepatannya dapat dinyatakan dengan persamaan (6) dan (7).
\begin{eqnarray}
\vec{v_{f}} & = & \left(v_{x}+a_{x}t\right)i+\left(v_{y}+a_{y}t\right)j+\left(v_{z}+a_{z}t\right)k\\
\vec{v_{f}} & = & \left(v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k\right)+\left(a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k\right)t
\end{eqnarray}
Jika besar kecepatannya tidak tetap, maka besar percepatan rata-rata partikel dapat dihitung dengan membagi besar perubahan kecepatan yang terjadi pada selang waktu tertentu.
\begin{equation}
\vec{a}=\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}=\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}i+\frac{\Delta v_{y}}{\Delta t}j+\frac{\Delta v_{z}}{\Delta t}k
\end{equation}
Percepatan sesaat dapat diturunkan dari fungsi kecepatann terhadap waktu.
\begin{equation}
\vec{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{dv_{x}}{dt}i+\frac{dv_{y}}{dt}j+\frac{dv_{z}}{dt}k=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k
\end{equation}
3. Perpaduan Dua Gerak Lurus Beraturan
Ingat bahwa gerak lurus beraturan merupakan gerak dengan kecepatan konstan. Perpaduan dua gerak lurus beraturan adalah gerak dua dimensi yang besar kecepatan di masing-masing arah (sumbu $x$ dan sumbu $y$) besarnya konstan. Untuk gerak pada bidang $xy$ maka vektor kecepatannya dapat dinyatakan sebagai berikut.
\begin{equation}
\vec{v}=v_{x}i+v_{y}j
\end{equation}
Karena tidak ada perubahan kecepatan maka, posisi partikel yang bergerak dalam sebuah bidang $xy$ dapat dimyatakan sebagai berikut.
\begin{equation}
\vec{r}=xi+yj=v_{x}ti+v_{y}tj=\left(v_{x}i+v_{y}j\right)t
\end{equation}
Lintasan dari perpapduan dua gerak lurus beraturan berupa garis lurus dengan arah gerak partikel terhadap sumbu $x$ dapat dinyatakan dengan
\begin{equation}
\alpha=\mbox{tan}^{-1}\frac{v_{y}}{v_{x}}
\end{equation}
Contoh Soal & Pembahasan
- Posisi sebuah partikel yang bergerak di dalam bidang $xy$ dinyatakan oleh persamaan $r=(5t)i+(10t^{2})j$ meter. Tentukan:
(a) Perpindahan partikel dari $t=1$ s hingga $t=3$ s
(b) Vektor kecepatan partikel pada $t=2$ s
(c) Percepatan partikel pada $t=10$ s
Penyelesaian:
(a) Perpindahan partikel dari $t=1$ s hingga $t=3$ s
Posisi partikel pada $t=1$ adalah $r(1)=(5\times1)i+(10\times1^{2})j=5i+10j$
Posisi partikel pada $t=3$ adalah $r(3)=(5\times3)i+(10\times3^{2})j=15i+90j$
Jadi vektor perpindahannya adalah $\Delta r=r(3)-r(1)=10i+80j$
Besar perpindahannya $\left|\Delta r\right|=10\sqrt{65}$ m
(b) Kecepatan partikel pada $t=2$ s
Vektor kecepatannya dapat dinyatakan sebagai
$\begin{alignedat}{1}\vec{v} & =\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\\
& =5i+20tj
\end{alignedat}
$
Sehingga untuk $t=2$ sekon maka kecepatannya adalah $\vec{v}=5i+40j$ m/s
(c) Percepatan partikel pada $t=10$ s
Vektor percepatannya dapat dinyatakan sebagai
$\begin{alignedat}{1}\vec{a} & =\frac{d\vec{v}}{dt}\\
& =0i+20j
\end{alignedat}
$
Sehingga besar percepatannya untuk $t=10$ s dan untuk semua nilai $t$ adalah sebesar 20 $\mbox{m/s}^{2}.$
- Posisi sebuah partikel yang bergerak di dalam ruang$xyz$ dinyatakan oleh persamaan $r=(5t)i+(10t)j+12t^{2}k$ meter. Pada arah manakah gerak partikel dipercepat?
Penyelesaian:
Berdasarkan persamaan posisi tersebut maka persamaan percepatannya adalah $a=24k$, sehingga gerak partikel dipercepat pada arah sumbu z.