Kamu dapat download modul & kumpulan soal dalam bentuk pdf pada link dibawah ini:

• Modul Gaya Tak Konstan
• Kumpulan Soal Mudah, Sedang & Sukar

Definisi

Pada kebanyakan kasus gaya tak konstan, besar gaya yang bekerja pada suatu benda tidaklah konstan. Gaya gravitasi dan gaya Coulomb besarnya berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak dari dua objek yang saling berinteraksi.

Gaya hambat udara sebanding dengan kecepatan, bahkan pada kondisi tertentu berbanding lurus terhadap kuadrat kecepatannya. Pada bagian ini akan dikaji tentang gaya-gaya tak konstan seperti gaya gravitasi, Coulomb dan gaya hambat udara.

1. Gaya Sebagai Fungsi Posisi

Beberapa gaya tak konstan di alam dipengaruhi oleh posisi partikel terhadap posisi partikel yang lain. Contoh gaya tak konstan ini adalah gaya gravitasi dan gaya listrik. Jika rumus gaya tidak dipengaruhi oleh kecepatan atau waktu, maka persamaan diferensial untuk gerak lurus ditulis sebagai berikut.

\begin{equation}
F(x)=m\frac{dv}{dt}
\end{equation}

Untuk rumus gaya yang tidak bergantung pada kecepatan dan waktu maka percepatan sebagai turunan dari kecepatan terhadap waktu dapat ditulis ulang sebagai berikut.

\begin{eqnarray}
\frac{dv}{dt} & = & \frac{dv}{dt}\frac{dx}{dx}\nonumber \\
\frac{dv}{dt} & = & v\frac{dv}{dx}
\end{eqnarray}

Sehingga persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut.

\begin{eqnarray}
F(x) & = & m\frac{dv}{dt}\nonumber \\
F(x) & = & mv\frac{dv}{dx}\nonumber \\
F(x) & = & \frac{m}{2}\frac{d(v^{2})}{dx}\nonumber \\
F(x) & = & \frac{dT}{dx}
\end{eqnarray}

dengan $T=\frac{1}{2}mv^{2}$ adalah energi kinetik partikel. Persamaan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai berikut.

\begin{equation}
W=\intop_{x_{0}}^{x}F(x)\mbox{ }dx=T-T_{0}
\end{equation}

dengan integral $W=\intop_{x_{0}}^{x}F(x)$ menyatakan usaha pada partikel oleh gaya $F(x)$. Usaha adalah perubahan energi kinetik dari partikel.

Hubungan antara gaya dengan perubahan energi potensial adalah sebagai berikut.

\begin{eqnarray}
-\frac{dV(x)}{dx} & = & F(x)\nonumber \\
\intop_{x_{0}}^{x}F(x)\mbox{ }dx & = & -\intop_{x_{0}}^{x}dV\nonumber \\
T-T_{0} & = & -V(x)+V(x_{0})\nonumber \\
T+V(x) & = & T_{0}+V(x_{0})
\end{eqnarray}

Persamaan (5) adalah persamaan hukum kekekalan energi mekanik, dengan $T+V(x)=E$ dan besarnya $E$ adalah konstan. Gaya yang hanya dipengaruhi oleh posisinya saja disebut dengan gaya konservatif.

2. Gaya Sebagai Fungsi Kecepatan

Contoh gaya sebagai fungsi kecepatan adalah gaya hambat (viscous resistance) pada benda yang bergerak di dalam fluida. Jika rumus gaya dinyatakan sebagai fungsi $v,$ persamaan diferensial dari gerak dapat dinyatakan dalam dua bentuk.

\begin{eqnarray}
F_{0}+F(v) & = & m\frac{dv}{dt}\\
F_{0}+F(v) & = & mv\frac{dv}{dx}
\end{eqnarray}

dengan $F_{0}$ menyatakan gaya konstan yang tidak dipengaruhi oleh $v.$ Gaya hambat termasuk gaya hambat udara tidak dapat dinyatakan secara sederhana dan secara umum besar gaya hambat hanya dapat diperoleh dengan eksperimen. Namun demikian, untuk banyak kasus dapat didekati dengan persamaan berikut.

\begin{eqnarray}
F(v) & = & -c_{1}v-c_{2}v|v|=-v(c_{1}+c_{2}|v|)
\end{eqnarray}

dengan $c_{1}$ dan $c_{2}$ adalah konstanta yang dipengaruhi oleh ukuran dan bentuk benda.

Contoh Soal & Pembahasan Gaya Tak Konstan

Benda dilemparkan di permukaan licin dengan kecepatan awal$v_{0}$. Gaya hambat udara dinyatakan sebagai $F(v)=-c_{1}v$.

1. Tentukan kecepatan benda setelah $t$ detik

Persamaan diferensial gerak benda dapat dinyatakan sebagai

$\begin{alignedat}{1}-c_{1}v & =m\frac{dv}{dt}\end{alignedat}$

dengan cara integral maka persamaan di atas menjadi

$\begin{alignedat}{1}-\intop\frac{c_{1}}{m}dt & =\intop\frac{dv}{v}\\
\frac{-c_{1}}{m}t & =\ln\left(\frac{v}{v_{0}}\right)\\
t & =-\frac{m}{c_{1}}\ln\left(\frac{v}{v_{0}}\right)
\end{alignedat}
$

Sehingga besar $v$ dapat dinyatakan:

$v=v_{0}e^{-c_{1}t/m}$

2. Tentukan posisi benda setelah $t$ detik

Jadi posisi benda dalam fungsi $t$ adalah

$\begin{alignedat}{1}x & =\intop_{0}^{t}v_{0}e^{-c_{1}t/m}dt\\
x & =\frac{mv_{0}}{c_{1}}(1-e^{-c_{1}t/m})
\end{alignedat}
$